第一章 函数与极限

1.1 映射与函数#

1.1.1 函数的定义#

定义：设 $D$ 是实数集的子集，如果对于 $D$ 中的每一个 $x$，按照某个法则 $f$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$。

函数的两要素：定义域 $D$ 与对应法则 $f$。

1.1.2 函数的四种特性#

有界性：若存在 $M > 0$，使得对任意 $x \in D$，都有 $|f(x)| \le M$，则称 $f(x)$ 在 $D$ 上有界。

单调性：

• 单调递增：对任意 $x_1, x_2 \in D$，若 $x_1 < x_2$，则 $f(x_1) < f(x_2)$
• 单调递减：对任意 $x_1, x_2 \in D$，若 $x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$

奇偶性：

• 偶函数：$f(-x) = f(x)$，图形关于 $y$ 轴对称
• 奇函数：$f(-x) = -f(x)$，图形关于原点对称

周期性：若存在 $T > 0$，使得对任意 $x \in D$，有 $f(x+T) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 为周期。

1.1.3 反函数#

定义：若函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R$，且对于 $R$ 中的每一个 $y$，都有唯一的 $x \in D$ 使得 $f(x) = y$，则可以确定一个从 $R$ 到 $D$ 的函数，称为 $y = f(x)$ 的反函数，记作 $x = f^{-1}(y)$ 或 $y = f^{-1}(x)$。

存在条件：函数在定义域上严格单调。

1.1.4 复合函数#

定义：若函数 $y = f(u)$ 的定义域为 $D_1$，函数 $u = g(x)$ 的定义域为 $D$，且 $g(D) \subseteq D_1$，则函数 $y = f(g(x))$ 称为由 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 复合而成的复合函数。

1.2 数列的极限#

1.2.1 数列极限的定义#

定义（$\varepsilon-N$ 语言）：如果对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，都有 $|x_n - a| < \varepsilon$，则称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

1.2.2 收敛数列的性质#

唯一性：如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，则其极限唯一。

有界性：如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，则 $\{x_n\}$ 必有界。

保号性：若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，且 $a > 0$（或 $a < 0$），则存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，都有 $x_n > 0$（或 $x_n < 0$）。

1.3 函数的极限#

1.3.1 自变量趋向无穷大的极限#

定义（$\varepsilon-X$ 语言）：如果对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在正数 $X$，使得当 $|x| > X$ 时，都有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限，记作 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$

1.3.2 自变量趋向有限值的极限#

定义（$\varepsilon-\delta$ 语言）：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。如果对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，都有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$

1.3.3 单侧极限#

左极限：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$

右极限：$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$

极限存在定理：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$

1.4 无穷小与无穷大#

1.4.1 无穷小#

定义：如果 $\lim_{\substack{x \to x_0 \\ (x \to \infty)}} f(x) = 0$，则称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的无穷小。

1.4.2 无穷大#

定义：如果对于任意给定的 $M > 0$，总存在 $\delta > 0$（或 $X > 0$），使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$（或 $|x| > X$）时，都有 $|f(x)| > M$，则称函数 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的无穷大，记作 $\lim_{\substack{x \to x_0 \\ (x \to \infty)}} f(x) = \infty$

1.4.3 无穷小与无穷大的关系#

定理：在同一变化过程中，

• 如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小
• 如果 $f(x)$ 为无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大

1.4.4 极限与无穷小的关系#

定理：$\lim f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 为无穷小。

1.5 极限运算法则#

1.5.1 极限的四则运算法则#

设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则

和差法则：$\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$

乘积法则：$\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

常数乘积法则：$\lim [C \cdot f(x)] = C \cdot A$（$C$ 为常数）

商法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（$B \neq 0$）

幂法则：$\lim [f(x)]^n = A^n$（$n$ 为正整数）

1.5.2 复合函数的极限运算法则#

定理：设函数 $y = f(g(x))$ 由函数 $y = f(u)$ 与函数 $u = g(x)$ 复合而成，若 $\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0$，且在 $x_0$ 的某去心邻域内 $g(x) \neq u_0$，又 $\lim_{u \to u_0} f(u) = A$，则 $\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \lim_{u \to u_0} f(u) = A$

1.6 极限存在准则与两个重要极限#

1.6.1 夹逼准则#

定理：如果对于 $x_0$ 的某去心邻域内的所有 $x$，都有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A$，则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

1.6.2 单调有界准则#

定理：单调有界数列必有极限。

1.6.3 两个重要极限#

第一个重要极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

第二个重要极限： $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

1.7 无穷小的比较#

1.7.1 无穷小的阶#

定义：设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是同一变化过程中的两个无穷小。

高阶无穷小：若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$。

低阶无穷小：若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小。

同阶无穷小：若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0$，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。

等价无穷小：若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

1.7.2 常用等价无穷小（$x \to 0$ 时）#

1.8 函数的连续性与间断点#

1.8.1 函数连续的定义#

定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

1.8.2 间断点的分类#

第一类间断点：左右极限 $f(x_0^-)$ 和 $f(x_0^+)$ 都存在的间断点。

• 可去间断点：$f(x_0^-) = f(x_0^+)$
• 跳跃间断点：$f(x_0^-) \neq f(x_0^+)$

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点。

• 无穷间断点：至少有一侧极限为无穷大
• 振荡间断点：极限振荡不存在

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性#

1.9.1 连续函数的运算#

定理：

1. 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数
2. 连续函数的复合函数仍为连续函数
3. 单调连续函数的反函数仍为连续函数

1.9.2 初等函数的连续性#

定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

1.10 闭区间上连续函数的性质#

1.10.1 最值定理#

定理：在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 必有最大值和最小值。

1.10.2 有界性定理#

定理：在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 必有界。

1.10.3 介值定理#

定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) = A$，$f(b) = B$（$A \neq B$），则对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意值 $\mu$，存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = \mu$。

1.10.4 零点定理#

定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) = 0$。