第二章 导数与微分

2.1 导数概念#

2.1.1 导数的定义#

定义：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时，如果极限

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，该极限值称为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数。

等价形式： $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

2.1.2 导数的几何意义#

导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。

切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

法线方程：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$（$f'(x_0) \neq 0$）

2.1.3 可导与连续的关系#

定理：如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处必连续。

2.1.4 左右导数#

左导数：$f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

右导数：$f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

充要条件：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导 $\Leftrightarrow f'_-(x_0)$ 和 $f'_+(x_0)$ 都存在且相等。

2.2 函数的求导法则#

2.2.1 四则运算求导法则#

设 $u = u(x), v = v(x)$ 都可导，则：

和差法则：$(u \pm v)' = u' \pm v'$

乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$

商法则：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \neq 0$）

2.2.2 反函数求导法则#

定理：如果函数 $x = \varphi(y)$ 在某区间内单调可导，且 $\varphi'(y) \neq 0$，则其反函数 $y = f(x)$ 在对应区间内也可导，且

$f'(x) = \frac{1}{\varphi'(y)} = \frac{1}{\varphi'(f(x))}$

或写作 $y'_x = \frac{1}{x'_y}$

2.2.3 复合函数求导（链式法则）#

定理：如果 $u = g(x)$ 在点 $x$ 处可导，$y = f(u)$ 在点 $u = g(x)$ 处可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 在点 $x$ 处可导，且

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

2.2.4 基本导数公式表#

2.3 高阶导数#

2.3.1 高阶导数的定义#

定义：导数的导数称为二阶导数，记作 $y''$ 或 $f''(x)$。

$f''(x) = (f'(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{\Delta x}$

n阶导数：$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$

2.3.2 莱布尼茨公式（乘积的高阶导数）#

定理：设 $u = u(x), v = v(x)$ 都具有n阶导数，则

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} = C_n^0 u^{(n)}v + C_n^1 u^{(n-1)}v' + C_n^2 u^{(n-2)}v'' + \cdots + C_n^n uv^{(n)}$

其中 $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 为组合数。

2.3.3 常见函数的n阶导数#

幂函数：$(x^m)^{(n)} = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)x^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$

• 特别地：$(x^n)^{(n)} = n!$

指数函数：$(e^x)^{(n)} = e^x$

• $(e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax}$

三角函数：

• $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
• $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

对数函数：$(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}$

2.4 隐函数与参数方程求导#

2.4.1 隐函数求导法#

定义：由方程 $F(x,y) = 0$ 确定的函数 $y = y(x)$ 称为隐函数。

求导步骤：

1. 方程两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）
2. 利用链式法则：$\frac{d}{dx}f(y) = f'(y) \cdot y'$
3. 解出 $y'$

2.4.2 对数求导法#

适用情况：

1. 幂指函数：$y = u(x)^{v(x)}$
2. 连乘连除、多次方根的复杂函数

求导步骤：

1. 两边取自然对数：$\ln y = v(x) \ln u(x)$
2. 两边对 $x$ 求导：$\frac{y'}{y} = v'(x)\ln u(x) + v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}$
3. 解出 $y'$：$y' = y \left[v'(x)\ln u(x) + v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}\right]$

2.4.3 参数方程求导#

参数方程：$\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$

一阶导数：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$

二阶导数： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\right)}{\phi'(t)}$

2.5 函数的微分#

2.5.1 微分的定义#

定义：设函数 $y = f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0 + \Delta x$ 在该区间内。如果函数的增量

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

可以表示为

$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$

其中 $A$ 不依赖于 $\Delta x$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，$A\Delta x$ 称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分，记作 $dy$，即

$dy = A \Delta x$

2.5.2 微分与导数的关系#

定理：函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处可微的充要条件是 $f(x)$ 在点 $x$ 处可导，且

$dy = f'(x) dx$

其中 $dx = \Delta x$ 称为自变量的微分。

2.5.3 微分的形式不变性#

无论 $u$ 是自变量还是中间变量，微分形式 $dy = f'(u)du$ 保持不变。

2.5.4 微分在近似计算中的应用#

近似公式：当 $|\Delta x|$ 很小时，

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$

或写作

$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

常用近似公式（当 $|x|$ 很小时）：

1. $\sqrt[n]{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{n}$
2. $(1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$
3. $\sin x \approx x$
4. $\tan x \approx x$
5. $e^x \approx 1 + x$
6. $\ln(1 + x) \approx x$