第三章 微分中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理#

3.1.1 罗尔定理 (Rolle’s Theorem)#

定理：若函数 $f(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导
3. $f(a) = f(b)$

则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f'(\xi) = 0$

3.1.2 拉格朗日中值定理#

定理：若函数 $f(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导

则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$ 或写成 $f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

3.1.3 柯西中值定理#

定理：若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导
3. $g'(x) \neq 0$，$x \in (a, b)$

则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

3.2 洛必达法则 (L’Hôpital’s Rule)#

3.2.1 基本形式#

定理：若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，且 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\pm\infty$），则 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

使用条件：

1. $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
2. $f(x), g(x)$ 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$
3. $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在

3.2.2 未定式类型总结#

3.3 泰勒公式 (Taylor’s Formula)#

3.3.1 基本形式#

带有佩亚诺余项的泰勒公式： $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$

带有拉格朗日余项的泰勒公式： $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$ 其中 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$，$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间

麦克劳林公式（$x_0 = 0$）： $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$

3.3.2 常见函数的麦克劳林展开#

指数函数： $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$

正弦函数： $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$

余弦函数： $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$

对数函数： $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$

幂函数： $(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

反正切函数： $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})$

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性#

3.4.1 函数的单调性#

定理：设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导

• 若 $f'(x) > 0$（$x \in I$），则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增
• 若 $f'(x) < 0$（$x \in I$），则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递减

3.4.2 曲线的凹凸性#

定义：

• 凹（向上弯曲）：曲线上任意两点间的弧段位于这两点连线的下方
• 凸（向下弯曲）：曲线上任意两点间的弧段位于这两点连线的上方

判定定理：设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上具有二阶导数

• 若 $f''(x) > 0$（$x \in I$），则曲线 $y = f(x)$ 在 $I$ 上是凹的
• 若 $f''(x) < 0$（$x \in I$），则曲线 $y = f(x)$ 在 $I$ 上是凸的

拐点：

• 曲线凹凸性发生改变的点
• 必要条件：$f''(x) = 0$ 或 $f''(x)$ 不存在
• 充分条件：$f''(x)$ 在该点两侧异号

3.5 函数的极值与最大值最小值#

3.5.1 函数的极值#

极值的定义：

• 极大值：存在邻域，邻域内所有点的函数值都小于等于该点的函数值
• 极小值：存在邻域，邻域内所有点的函数值都大于等于该点的函数值

极值的必要条件（费马定理）： 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且 $x_0$ 是极值点，则 $f'(x_0) = 0$

第一充分条件： 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内连续，在去心邻域内可导

• 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 左侧为正，右侧为负，则 $f(x_0)$ 是极大值
• 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 左侧为负，右侧为正，则 $f(x_0)$ 是极小值
• 若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧同号，则 $f(x_0)$ 不是极值

第二充分条件： 设 $f'(x_0) = 0$，且 $f''(x_0)$ 存在

• 若 $f''(x_0) < 0$，则 $f(x_0)$ 是极大值
• 若 $f''(x_0) > 0$，则 $f(x_0)$ 是极小值
• 若 $f''(x_0) = 0$，需要用其他方法判断

3.5.2 函数的最大值与最小值#

最大值最小值的求法（闭区间 $[a, b]$ 上连续函数）：

1. 求 $f'(x)$，找出 $(a, b)$ 内所有临界点（驻点和不可导点）
2. 计算这些临界点的函数值
3. 计算端点的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$
4. 比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值

3.6 函数图形的描绘#

3.6.1 函数图形描绘的步骤#

1. 确定定义域
2. 分析奇偶性和周期性
3. 求单调区间和极值：求 $f'(x)$，解 $f'(x) = 0$
4. 求凹凸区间和拐点：求 $f''(x)$，解 $f''(x) = 0$
5. 求渐近线：
   • 铅直渐近线：若有 $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$，则 $x = a$
   • 水平渐近线：若有 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = A$（常数），则 $y = A$
   • 斜渐近线：若 $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = k$（$k \neq 0$），且 $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - kx] = b$，则 $y = kx + b$
6. 找特殊点：与坐标轴的交点、拐点、极值点
7. 列表综合
8. 描点作图

3.6.2 渐近线的总结#

3.7 曲率#

3.7.1 弧微分#

弧微分公式：

• 显函数 $y = f(x)$：$ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx$
• 参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$：$ds = \sqrt{\varphi'(t)^2 + \psi'(t)^2}dt$
• 极坐标方程 $r = r(\theta)$：$ds = \sqrt{r(\theta)^2 + r'(\theta)^2}d\theta$

3.7.2 曲率#

曲率公式： $K = \frac{|y''|}{[1 + (y')^2]^{3/2}}$

曲率半径： $\rho = \frac{1}{K} = \frac{[1 + (y')^2]^{3/2}}{|y''|}$