第四章不定积分 - 同济大学《高等数学》第七版上册提纲

4.1 不定积分的概念与性质#

定义：若 $F'(x) = f(x)$ 在区间 $I$ 上成立，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在该区间上的原函数。

重要性质：

$\int f(x)dx = F(x) + C$

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数， $C$ 为积分常数。

线性性质： $\int [kf_1(x) \pm lf_2(x)]dx = k\int f_1(x)dx \pm l\int f_2(x)dx$

微分与积分的关系： $\frac{d}{dx}\int f(x)dx = f(x)$ $\int f'(x)dx = f(x) + C$

\begin{aligned} &\int 0 dx = C \\ &\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \\ &\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C \\ &\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \\ &\int e^x dx = e^x + C \\ &\int \sin x dx = -\cos x + C \\ &\int \cos x dx = \sin x + C \\ &\int \sec^2 x dx = \tan x + C \\ &\int \csc^2 x dx = -\cot x + C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x + C \\ &\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x + C \end{aligned}

基本公式： $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$

方法：令 $\sqrt[n]{ax+b} = t$ ，则 $x = \frac{t^n-b}{a}$ ， $dx = \frac{n}{a}t^{n-1}dt$

$\int u dv = uv - \int v du$

按优先级从高到低选择 $u$ ：

适用情况：积分形式为 $\int e^{ax}\sin bx dx$ 或 $\int e^{ax}\cos bx dx$

方法：通过两次分部积分回到原积分，解方程得到结果。

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_0}$

分类：

部分分式形式：

分母因式	部分分式形式
$(x-a)^k$	$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$
$(x^2+px+q)^k$ ( $p^2-4q<0$ )	$\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q} + \frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2} + \cdots$

万能代换：令 $t = \tan \frac{x}{2}$ ，则 $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ ， $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $dx = \frac{2}{1+t^2}dt$