第五章 定积分

5.1 定积分的概念与性质#

5.1.1 定积分的定义#

定义（黎曼积分）：设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，在 $[a, b]$ 中任意插入 $n-1$ 个分点 $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$，把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式 $S = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 记 $\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\}$。如果无论对 $[a, b]$ 怎样分法，也不论 $\xi_i$ 在 $[x_{i-1}, x_i]$ 上怎样取法，只要当 $\lambda \to 0$ 时，和 $S$ 总趋于确定的极限 $I$，则称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$

5.1.2 定积分的几何意义#

定积分 $\int_a^b f(x)dx$ 表示由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a$、$x = b$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的代数面积（$x$ 轴上方为正，下方为负）。

5.1.3 可积条件#

充分条件：

• 在闭区间上连续的函数必可积
• 在闭区间上只有有限个间断点的有界函数必可积

5.1.4 定积分的性质#

线性性质： $\int_a^b [kf_1(x) \pm lf_2(x)]dx = k\int_a^b f_1(x)dx \pm l\int_a^b f_2(x)dx$

区间可加性： $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

有界性估值：若 $m \leq f(x) \leq M$（$x \in [a, b]$），则 $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$

积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在积分区间 $[a, b]$ 上至少存在一点 $\xi$，使下式成立 $\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$

5.2 微积分基本公式#

5.2.1 变上限积分函数#

定义：如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且其导数为 $\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 (Newton-Leibniz Formula)#

定理：如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则 $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b$

5.3 定积分的换元法和分部积分法#

5.3.1 换元积分法#

定理：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x = \varphi(t)$ 满足：

1. $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$
2. $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$（或 $[\beta, \alpha]$）上具有连续导数，且其值域 $R_\varphi \subset [a, b]$

则有换元公式 $\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$

使用说明：换元必换限，无需回代原变量。

5.3.2 分部积分法#

公式： $\int_a^b u dv = [uv]_a^b - \int_a^b v du$

5.3.3 奇偶性与周期性#

奇偶性：

• 若 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续且为奇函数，则 $\int_{-a}^a f(x)dx = 0$
• 若 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续且为偶函数，则 $\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$

周期性：若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则 $\int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx$

5.4 反常积分 (Improper Integral)#

5.4.1 无穷限的反常积分#

定义：设函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，取 $t > a$，如果极限 $\lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a, +\infty)$ 上的反常积分，记作 $\int_a^{+\infty} f(x)dx$，即 $\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx$

类似地定义 $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ 和 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$。

5.4.2 无界函数的反常积分（瑕积分）#

定义：设函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，而在点 $a$ 的右邻域内无界。取 $\varepsilon > 0$，如果极限 $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上的反常积分，记作 $\int_a^b f(x)dx$，即 $\int_a^b f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$

类似地定义其他情形。

5.4.3 反常积分的审敛法（比较审敛法）#

极限审敛法：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 上连续，且 $f(x) \geq 0$。如果存在常数 $M > 0$ 及 $p > 1$，使得 $f(x) \leq \frac{M}{x^p}$（$a \leq x < +\infty$），则反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 收敛。

$P$-积分：$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ 当 $p > 1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散。