第六章 定积分的应用

6.1 微元法 (Element Method)#

基本步骤：

1. 根据实际问题，选取一个变量（如 $x$）作为积分变量，确定它的变化区间 $[a, b]$
2. 设想把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间，取其中任一小区间 $[x, x + dx]$，求出相应于这个小区间的部分量 $\Delta Q$ 的近似值。如果 $\Delta Q$ 能近似地表示为 $[a, b]$ 上的一个连续函数在 $x$ 处的值 $f(x)$ 与 $dx$ 的乘积，就把 $f(x)dx$ 称为量 $Q$ 的微元，记作 $dQ$
3. 以所求量 $Q$ 的微元 $f(x)dx$ 为被积表达式，在区间 $[a, b]$ 上作定积分，得 $Q = \int_a^b f(x)dx$

6.2 几何应用#

6.2.1 平面图形面积#

直角坐标系：

• 上下型：由曲线 $y = f(x)$、$y = g(x)$（$f(x) \geq g(x)$）及直线 $x = a$、$x = b$ 所围成的平面图形的面积为 $A = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx$
• 左右型：由曲线 $x = \varphi(y)$、$x = \psi(y)$（$\varphi(y) \geq \psi(y)$）及直线 $y = c$、$y = d$ 所围成的平面图形的面积为 $A = \int_c^d [\varphi(y) - \psi(y)]dy$

极坐标系：

• 由曲线 $r = r(\theta)$ 及射线 $\theta = \alpha$、$\theta = \beta$ 围成的曲边扇形的面积为 $A = \int_\alpha^\beta \frac{1}{2}[r(\theta)]^2 d\theta$

6.2.2 体积#

旋转体体积：

圆盘法（绕 $x$ 轴旋转）：由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a$、$x = b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周而成的立体体积为 $V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx$

垫圈法：由曲线 $y = f(x)$、$y = g(x)$（$f(x) \geq g(x) > 0$）及直线 $x = a$、$x = b$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的立体体积为 $V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 - [g(x)]^2 dx$

柱壳法（绕 $y$ 轴旋转）：由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a$、$x = b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体体积为 $V = \int_a^b 2\pi x f(x) dx$

已知截面面积的立体体积：设立体位于过点 $x = a$、$x = b$ 且垂直于 $x$ 轴的两个平面之间，以 $A(x)$ 表示过点 $x$ 且垂直于 $x$ 轴的截面面积，则立体的体积为 $V = \int_a^b A(x) dx$

6.2.3 平面曲线弧长#

直角坐标系：设曲线弧由直角坐标方程 $y = f(x)$（$a \leq x \leq b$）给出，其中 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上具有连续导数，则曲线弧的弧长为 $s = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx$

参数方程：设曲线弧由参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \quad (\alpha \leq t \leq \beta)$ 给出，其中 $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有连续导数，则曲线弧的弧长为 $s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} dt$

极坐标系：设曲线弧由极坐标方程 $r = r(\theta)$（$\alpha \leq \theta \leq \beta$）给出，其中 $r(\theta)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有连续导数，则曲线弧的弧长为 $s = \int_\alpha^\beta \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$

6.3 物理应用#

6.3.1 变力沿直线所做的功#

设物体在连续变化的力 $F(x)$ 的作用下，沿 $x$ 轴从 $x = a$ 移动到 $x = b$，则力 $F(x)$ 对物体所做的功为 $W = \int_a^b F(x) dx$

6.3.2 水压力#

设有一面积为 $A$ 的薄板，垂直地放置在密度为 $\rho$ 的液体中，薄板一侧所受的液体压力为 $P = \int_A \rho g h dA$ 其中 $h$ 为薄板上各点距离液面的深度。

6.3.3 引力#

设有一长度为 $l$、线密度为 $\mu$ 的均匀细棒，在其中垂线上距棒 $a$ 单位处有一质量为 $m$ 的质点，则细棒对质点的引力大小为 $F = \int \frac{Gm\mu}{a^2 + x^2} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx = \frac{2Gm\mu l}{a\sqrt{a^2 + l^2}}$

6.3.4 质心与形心#

平面薄片的质心：设有一平面薄片，占有 $xOy$ 面上的闭区域 $D$，在点 $(x, y)$ 处的面密度为 $\rho(x, y)$，则薄片对 $x$ 轴、$y$ 轴的静矩分别为 $M_x = \int_D y\rho(x, y) d\sigma$ $M_y = \int_D x\rho(x, y) d\sigma$ 薄片质心的坐标为 $\bar{x} = \frac{M_y}{m} = \frac{\int_D x\rho(x, y) d\sigma}{\int_D \rho(x, y) d\sigma}$ $\bar{y} = \frac{M_x}{m} = \frac{\int_D y\rho(x, y) d\sigma}{\int_D \rho(x, y) d\sigma}$