第七章 微分方程

7.1 微分方程的基本概念#

7.1.1 微分方程的定义#

定义：含有未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。

7.1.2 微分方程的阶#

定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

7.1.3 微分方程的解#

通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。

特解：用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件。确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。

7.2 可分离变量的微分方程#

7.2.1 可分离变量方程的定义#

形式： $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

7.2.2 解法#

步骤：

1. 分离变量：$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$
2. 两边积分：$\int \frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx$
3. 求出通解

7.3 齐次方程#

7.3.1 齐次方程的定义#

形式： $\frac{dy}{dx} = \phi\left(\frac{y}{x}\right)$

7.3.2 解法#

步骤：

1. 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$
2. 代入原方程，得 $u + x\frac{du}{dx} = \phi(u)$
3. 分离变量：$\frac{du}{\phi(u) - u} = \frac{dx}{x}$
4. 两边积分，求得通解
5. 用 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$，得原方程的通解

7.4 一阶线性微分方程#

7.4.1 一阶线性微分方程的定义#

形式： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

7.4.2 通解公式#

公式： $y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right]$

7.4.3 伯努利方程#

形式： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$

解法：令 $z = y^{1-n}$，化为一阶线性微分方程求解。

7.5 可降阶的高阶微分方程#

7.5.1 $y^{(n)} = f(x)$ 型#

解法：连续积分 $n$ 次即可。

7.5.2 $y'' = f(x, y')$ 型（缺 $y$ 型）#

解法：

1. 令 $y' = p(x)$，则 $y'' = p'$
2. 原方程化为 $p' = f(x, p)$，这是一阶微分方程
3. 求出 $p(x)$ 后，再积分一次得 $y$

7.5.3 $y'' = f(y, y')$ 型（缺 $x$ 型）#

解法：

1. 令 $y' = p(y)$，则 $y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$
2. 原方程化为 $p\frac{dp}{dy} = f(y, p)$，这是一阶微分方程
3. 求出 $p(y)$ 后，分离变量求 $y$

7.6 高阶线性微分方程#

7.6.1 线性微分方程的解的结构#

叠加原理：如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶齐次线性方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 的两个解，则 $C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 也是该方程的解（$C_1$、$C_2$ 为常数）。

通解结构：如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶齐次线性方程的两个线性无关的特解，则 $C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 就是该方程的通解。

非齐次线性方程的通解：如果 $y^*$ 是非齐次线性方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$ 的一个特解，$Y$ 是对应的齐次方程的通解，则 $y = Y + y^*$ 是非齐次方程的通解。

7.7 二阶常系数线性微分方程#

7.7.1 二阶常系数齐次线性微分方程#

形式： $y'' + py' + qy = 0$

其中 $p$、$q$ 为常数。

特征方程法：

1. 写出特征方程：$r^2 + pr + q = 0$
2. 求出特征根 $r_1$、$r_2$
3. 根据 $\Delta = p^2 - 4q$ 的情况写出通解：

7.7.2 二阶常系数非齐次线性微分方程#

形式： $y'' + py' + qy = f(x)$

待定系数法：

情况一：$f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$（$P_m(x)$ 为 $m$ 次多项式）

设特解形式为 $y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}$，其中：

• $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的待定多项式
• 当 $\lambda$ 不是特征方程的根时，取 $k = 0$
• 当 $\lambda$ 是特征方程的单根时，取 $k = 1$
• 当 $\lambda$ 是特征方程的重根时，取 $k = 2$

情况二：$f(x) = e^{\lambda x} [P_l(x)\cos \omega x + P_n(x)\sin \omega x]$

设特解形式为 $y^* = x^k e^{\lambda x} [R_m^{(1)}(x)\cos \omega x + R_m^{(2)}(x)\sin \omega x]$，其中：

• $R_m^{(1)}(x)$、$R_m^{(2)}(x)$ 是 $m$ 次待定多项式，$m = \max\{l, n\}$
• 当 $\lambda + i\omega$（或 $\lambda - i\omega$）不是特征方程的根时，取 $k = 0$
• 当 $\lambda + i\omega$（或 $\lambda - i\omega$）是特征方程的单根时，取 $k = 1$